数学 統計学

期待値とは 分かりやすく解説します!【統計学基礎】

 

統計学について興味を持ち、勉強されている方向けの記事になります。

「期待値」が理解できなくて困っていませんか?

この記事では、「期待値」について、完璧に理解できるようになっているので、是非読んでマスターしましょう。(図解あり!)

実際に、大学で数学を専攻していることから、初学者にも分かりやすく解説します。


「期待値」とは?

「期待値」の定義

期待値の定義は、以下の通りです。

定義1. 離散型の期待値

離散確率変数\(X\)において、\(X=x_i ~ (i=1,\dots,n)\)のときの確率を\(p(x_i)\)とすると、期待値\(E[X]\)は以下の式で定義される。

$$\begin{eqnarray}E[X]&=& \sum_{i=1}^{n} x_i  p(x_i)\end{eqnarray}$$

定義2. 連続型の期待値

連続確率変数\(X\)において、期待値\(E[X]\)は以下の式で定義される。

$$\begin{eqnarray}E[X] &=& \int_{-\infty}^{\infty} x p(x) dx \end{eqnarray}$$

期待値の定義は、離散確率変数または、連続確率変数であるかにより、異なります。

また厳密な数学の定義について考えると、かなり複雑ですが、ここでは、離散なら総和であり、連続なら積分をするということを押さえておきましょう。

「期待値」を具体例でチェック

定義だけでは、分かりづらいので、実際の具体例で期待値を理解していきましょう。

離散確率変数の例:サイコロの期待値を求めます。

サイコロの期待値

図1. サイコロの期待値(離散型確率変数における期待値の具体例)

サイコロは、どの面も出る確率が\(\frac{1}{6}\)である点に注意して計算すれば、期待値はすぐ求められます。

連続確率変数の例:確率密度関数\(p(x) = \frac{1}{6}\)で確率変数が\((0 \leq X \leq 6)\)の範囲で値を取るときの期待値を考えます。

連続型の期待値具体例

図2. 連続型確率変数における期待値の具体例

このように、期待値は、確率変数が離散であるときと連続であるときによって、計算の仕方が異なることが分かります。

 

「期待値」の詳しい解説

期待値というのは、母集団の平均であり、平均というのは、サンプリングされた値の平均であり、それぞれ異なる考え方です。(偶然、同じ値になることももちろんあります。)

期待値は、平均と同じだという考えを持つ人がいますが、それは厳密には違うので注意しましょう。

補足

これまで期待値を\(E[X]\)と書いていますが、\(\mu_{X}\)や\(\mu\)と書かれている場合も多いです。

「期待値」について【まとめ】

「期待値」の押さえるべきポイント

  • 期待値は、確率変数が離散なら総和であり、連続なら積分をすることで求まる!
  • 期待値は、母集団の平均である!

これで、「期待値」の解説は以上になります。少しは、理解が深まったでしょうか?

本サイトでは、このほかにも統計学で使用される用語をまとめていますので、是非ご活用ください。

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  • この記事を書いた人

ポルカ

もうすぐ社会人。数学、最近は特に統計学やデータサイエンスにまつわる記事を誰にでも分かりやすくをコンセプトに執筆しています。 そのほか、独学でのアプリ開発の経験や光回線についての記事も発信中!!

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