【写像】合成写像、恒等写像、包含写像の基本を分かりやすく解説！＜大学数学＞

 
どうも、porukaです。

写像について分からない方はこちら！

合成写像

合成写像の定義は、

写像$f:X\rightarrow Y$,$g:Y \rightarrow Z$があるとき、

$(g \circ f)(x) = g(f(x))$

をfとgの合成写像という。

恒等写像

ある写像について、

$h:X \rightarrow X$

となる場合、恒等写像という。＊恒等写像は必ず全単射である。

全単射についてはこちらへ

包含写像

集合$X$と部分集合$A \subset X$ について、ある写像について、

$h:A \rightarrow X$

となる場合、包含写像という。＊包含写像は必ず単射であるが、全射とは限らない。

単射、全射についてはこちらへ

では例題へ

すべての例題において、写像$f:X\rightarrow Y$, $g:Y \rightarrow Z$とする。

例題①

(1)$f,g$がともに全射であるならば、$ g \circ f$ も全射である。

「証明」

$\forall z \in Z について、g が全射より、$

$\exists y \in Y 　s.t.　g(y) = z$

$そのyに対して、fが全射より、$

$\exists x \in X 　s.t.　f(x) = y$

よって、

$g \circ f(x) = g(f(x)) = g(y) = z $

したがって、$g \circ f $は全射である。

「証明終わり」

例題②

(2)$f,g$がともに単射であるならば、$ g \circ f$ も単射である。

「証明」

$\forall x_1,x_2 \in X $について、$f $が単射より、

$x_1 \neq x_2  \Rightarrow  f(x_1) \neq f(x_2) $

が成立する。

ここで、

$f(x_1),f(x_2) \in Y$ で、$g$が単射より、

$f(x_1) \neq f(x_2)  \Rightarrow  g(f(x_1)) \neq g(f(x_2))$

よって、

$x_1 \neq x_2  \Rightarrow  g \circ f(x_1) \neq g \circ f(x_2)$

が成立するため、$g \circ f$ は単射。

「証明終わり」

例題③

(3)$ g \circ f $が全射ならば、$g$は全射である。

「証明」
$ g \circ f $が全射より、$\forall z \in Z $に対して、
$ \exists x \in X　s.t.    　g \circ f(x) = z$
となる。

このとき、$ y = f(x) \in Y $ であることから、
$g \circ f(x) = g(f(x)) = g(y) = z $

よって、$\forall z \in Z$に対して、
$\exists y \in Y　s.t.    　g(y) = z$
となり、$g$は、全射である。
「証明終わり」

例題④

(4)$ g \circ f $ が単射ならば、$f$は単射である。

「証明」
$g \circ f$ が単射であるから、$ \forall x_1,x_2 \in X$ について、
$x_1 \neq x_2 \Rightarrow g \circ f(x_1) \neq g \circ f(x_2)$
となる。

このとき、$f(x_1)、f(x_2) \in Y $について、$f(x_1) = f(x_2) = y$を仮定する。
そうすると、
$g \circ f(x_1) = g(f(x_1)) = g(f(y))= g (f(x_2)) = g \circ f(x_2)$
よって、矛盾する。

以上から、$f(x_1) \neq f(x_2)$ となる。

よって、$ \forall x_1,x_2 \in X$ について、
$x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$
となり、$f$は単射である。
「証明終わり」

例題は以上で終わりです。これらの例題をマスターすれば、合成写像に関しては、ばっちり理解出来ているので、頑張りましょう！！