統計学について興味を持ち、勉強されている方向けの記事になります。
「期待値」が理解できなくて困っていませんか？
この記事では、「期待値」について、完璧に理解できるようになっているので、是非読んでマスターしましょう。（図解あり！）
実際に、大学で数学を専攻していることから、初学者にも分かりやすく解説します。
「期待値」とは？
「期待値」の定義
期待値の定義は、以下の通りです。
定義1. 離散型の期待値
離散確率変数\(X\)において、\(X=x_i ~ (i=1,\dots,n)\)のときの確率を\(p(x_i)\)とすると、期待値\(E[X]\)は以下の式で定義される。
$$\begin{eqnarray}E[X]&=& \sum_{i=1}^{n} x_i p(x_i)\end{eqnarray}$$
定義2. 連続型の期待値
連続確率変数\(X\)において、期待値\(E[X]\)は以下の式で定義される。
$$\begin{eqnarray}E[X] &=& \int_{-\infty}^{\infty} x p(x) dx \end{eqnarray}$$
期待値の定義は、離散確率変数または、連続確率変数であるかにより、異なります。
また厳密な数学の定義について考えると、かなり複雑ですが、ここでは、離散なら総和であり、連続なら積分をするということを押さえておきましょう。
「期待値」を具体例でチェック
定義だけでは、分かりづらいので、実際の具体例で期待値を理解していきましょう。
離散確率変数の例：サイコロの期待値を求めます。
図1. サイコロの期待値（離散型確率変数における期待値の具体例）
サイコロは、どの面も出る確率が\(\frac{1}{6}\)である点に注意して計算すれば、期待値はすぐ求められます。
連続確率変数の例：確率密度関数\(p(x) = \frac{1}{6}\)で確率変数が\((0 \leq X \leq 6)\)の範囲で値を取るときの期待値を考えます。
図2. 連続型確率変数における期待値の具体例
このように、期待値は、確率変数が離散であるときと連続であるときによって、計算の仕方が異なることが分かります。
「期待値」の詳しい解説
期待値というのは、母集団の平均であり、平均というのは、サンプリングされた値の平均であり、それぞれ異なる考え方です。（偶然、同じ値になることももちろんあります。）
期待値は、平均と同じだという考えを持つ人がいますが、それは厳密には違うので注意しましょう。
補足
これまで期待値を\(E[X]\)と書いていますが、\(\mu_{X}\)や\(\mu\)と書かれている場合も多いです。
「期待値」について【まとめ】
「期待値」の押さえるべきポイント
- 期待値は、確率変数が離散なら総和であり、連続なら積分をすることで求まる！
- 期待値は、母集団の平均である！
これで、「期待値」の解説は以上になります。少しは、理解が深まったでしょうか？
本サイトでは、このほかにも統計学で使用される用語をまとめていますので、是非ご活用ください。
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